Kung Fu MathKung Fu Math数学道場 · Math Dojo
Alla tekniker

Potenser och rötter · Teknikguide

Potenser och kvadratrötter i huvudet

Av Robert Hansson, Kung Fu Math

Kvadrater och kvadratrötter dyker upp överallt: i areor, i Pythagoras sats, i statistik och i fysik. Att kunna kvadraterna upp till 20 utantill är en bra början, men några mönster tar dig mycket längre utan miniräknare.

Varje teknik nedan förvandlar en potens eller rot till några små, vänliga steg. När du kan dem slutar tal som 65², 49² eller √200 att vara skrämmande och blir en snabb tankeövning.

01

Kvadrera tal som slutar på 5

För att kvadrera ett tal som slutar på 5 tar du siffrorna framför 5:an, multiplicerar dem med nästa heltal och skriver 25 efter resultatet.

För 65²: siffran framför är 6, och 6 × 7 = 42. Skriv 25 efter: 4 225. Det fungerar eftersom (10n + 5)² = 100·n(n + 1) + 25.

Löst exempel

85²

  1. → Främre del: 8
  2. → 8 × 9 = 72
  3. → Skriv 25 efter: 7 225

Svar: 7 225

Öva: Prova 35², 75², 105² och 115².

02

Kvadrera nära ett jämnt tal

Använd (a + b)² = a² + 2ab + b² där a är ett jämnt tal. För 49² tänker du (50 − 1)²: 2 500 − 100 + 1 = 2 401.

Mittentermen 2ab är det enda riktiga arbetet, och med ett jämnt a är den enkel.

Löst exempel

102²

  1. → 102 = 100 + 2
  2. → 100² = 10 000
  3. → 2 · 100 · 2 = 400
  4. → 2² = 4
  5. → 10 000 + 400 + 4 = 10 404

Svar: 10 404

Öva: Prova 31², 59², 98² och 201².

03

Hitta exakta rötter ur kvadrattal

Om du vet att ett tal är ett kvadrattal ger två ledtrådar roten. Sista siffran avslöjar rotens sista siffra: en kvadrat som slutar på 6 har en rot som slutar på 4 eller 6. Storleken avslöjar tiotalet.

För √5 476: 70² = 4 900 och 80² = 6 400, så roten ligger på sjuttiotalet. Den slutar på 4 eller 6. 75² = 5 625 är större, så roten är 74.

Löst exempel

√2 209

  1. → 40² = 1 600 och 50² = 2 500, så roten ligger på fyrtiotalet
  2. → Slutar på 9, så roten slutar på 3 eller 7
  3. → 45² = 2 025 är mindre, så välj 47

Svar: 47

Öva: Prova √1 444, √3 721 och √7 056.

04

Uppskatta vilken kvadratrot som helst

För ett tal som inte är ett kvadrattal hittar du närmaste kvadrat under. Lägg till resten delat med dubbla roten. Uppskattningen √(a² + r) ≈ a + r/(2a) stämmer på ungefär två decimaler för de flesta vardagliga tal.

Löst exempel

√52

  1. → Närmaste kvadrat under: 49 = 7²
  2. → Rest: 52 − 49 = 3
  3. → 3 ÷ (2 · 7) ≈ 0,21
  4. → √52 ≈ 7,21 (exakt värde 7,211…)

Svar: ≈ 7,21

Öva: Uppskatta √27, √83 och √150.

05

Använd potenslagarna

Potenser följer enkla regler: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ och (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Med dem kan du dela upp en stor potens i små, kända bitar.

För 2¹⁰ kommer du ihåg att 1 024 ≈ tusen. Då är 2²⁰ ≈ en miljon och 2³⁰ ≈ en miljard. För 5³ · 2³ grupperar du paren: (5 · 2)³ = 1 000.

Löst exempel

4⁵ · 25⁵

  1. → Gruppera baserna: (4 · 25)⁵
  2. → 4 · 25 = 100
  3. → 100⁵ = 10 000 000 000

Svar: 10 000 000 000

Öva: Prova 2¹², 8 · 2⁷ och 20³ · 5³.

Vanliga misstag

  • Att skriva 25 efter n² i stället för efter n(n + 1) när man kvadrerar tal som slutar på 5.
  • Att glömma mittentermen: (a + b)² är inte a² + b².
  • Att multiplicera exponenterna när de ska adderas: a² · a³ = a⁵, inte a⁶.
  • Att tro att √(a + b) är lika med √a + √b. Det är det inte.

Sammanfattning

  • n5² = n(n + 1) följt av 25.
  • Kvadrera nära ett jämnt tal med a² + 2ab + b².
  • Sista siffran och storleken avgör en exakt kvadratrot.
  • √(a² + r) ≈ a + r/(2a) ger en snabb uppskattning.

In i dojon

Läsning ger förståelse, träning ger snabbhet. Träna detta i Kung Fu Math – inget konto behövs.

Träna detta i Kung Fu Math Scroll of the Edge