Ekvationer · Teknikguide
Så löser du ekvationer i huvudet
Av Robert Hansson, Kung Fu Math
En ekvation är en gåta: ett tal har gömts bakom en bokstav och din uppgift är att hitta det. På papper skriver vi rad efter rad med algebra, men de flesta vardagliga ekvationer går snabbare att lösa i huvudet när du ser vad ekvationen egentligen säger.
Grundidén är enkel. Det som gjordes med x gör du ogjort i omvänd ordning. Teknikerna nedan ger dig olika sätt att se det snabbt, från den enklaste linjära ekvationen till enkla andragradsekvationer.
01
Räkna baklänges
Läs ekvationen som ett recept. I 3x + 7 = 31 säger receptet: ta x, multiplicera med 3, lägg till 7 och du får 31. För att hitta x kör du receptet baklänges: börja på 31, ta bort +7 och ta sedan bort ×3.
Det här är den snabbaste metoden när x bara förekommer en gång. Du behöver inte skriva något – du går bara bakåt längs kedjan av räknesteg.
Löst exempel
3x + 7 = 31
- → Börja på 31
- → Ta bort + 7: 31 − 7 = 24
- → Ta bort × 3: 24 ÷ 3 = 8
- → Kontroll: 3 · 8 + 7 = 31
Svar: 8
Öva: Prova 5x − 4 = 41, 2x + 13 = 47 och (x + 6) ÷ 4 = 9.
02
Håll balansen
När x finns på båda sidor kan du tänka dig en balansvåg. Du får ta bort samma sak från båda vågskålarna utan att vågen tippar. Flytta alla x-termer till sidan med flest x och alla vanliga tal till andra sidan.
Välj den riktning som håller talen positiva. Den lilla vanan tar bort de flesta teckenfel.
Löst exempel
7x − 5 = 3x + 19
- → Ta bort 3x från båda sidor: 4x − 5 = 19
- → Lägg till 5 på båda sidor: 4x = 24
- → Dela med 4: x = 6
Svar: 6
Öva: Prova 9x + 2 = 4x + 37, 6x − 8 = 2x + 12 och 11x = 5x + 42.
03
Ta bort bråken först
Bråk får ekvationer att se svårare ut än de är. Multiplicera varje term med den gemensamma nämnaren så försvinner bråken. Lös sedan den vänliga ekvationen som blir kvar.
Med ett enda bråk flyttar du bara över nämnaren: x ÷ 4 = 7 betyder direkt att x = 28.
Löst exempel
x/3 + x/6 = 5
- → Gemensam nämnare är 6
- → Multiplicera varje term med 6: 2x + x = 30
- → 3x = 30
- → x = 10
Svar: 10
Öva: Prova x/2 + x/4 = 9, x/5 − 2 = 3 och 2x/3 = 14.
04
Använd nollproduktmetoden
Om en produkt är noll måste minst en av faktorerna vara noll. Därför har (x − 4)(x + 9) = 0 lösningarna x = 4 och x = −9 helt utan räkning. Du frågar dig bara: vad gör varje parentes till noll?
Många ekvationer kan skrivas på den formen genom att bryta ut x: x² − 5x = 0 blir x(x − 5) = 0, alltså x = 0 eller x = 5.
Löst exempel
x² − 12x = 0
- → Bryt ut x: x(x − 12) = 0
- → Antingen är x = 0
- → eller x − 12 = 0, alltså x = 12
Svar: 0 och 12
Öva: Prova x² + 7x = 0, (2x − 6)(x + 1) = 0 och 3x² = 15x.
05
Hitta faktorerna i en andragradsekvation
För x² + bx + c = 0 letar du efter två tal vars produkt är c och summa är b. Hittar du dem kan uttrycket faktoriseras och nollproduktmetoden gör resten.
För x² − 5x + 6 = 0 behöver du två tal med produkten 6 och summan −5: det är −2 och −3, alltså x = 2 eller x = 3. Med träning ser du sådana par lika snabbt som multiplikationstabellen.
Löst exempel
x² − 9x + 20 = 0
- → Produkt 20, summa −9: paret är −4 och −5
- → (x − 4)(x − 5) = 0
- → x = 4 eller x = 5
Svar: 4 och 5
Öva: Prova x² − 7x + 12 = 0, x² + x − 6 = 0 och x² − 10x + 21 = 0.
Vanliga misstag
- Att göra räknestegen ogjorda i fel ordning. Ta först bort det som gjordes sist med x.
- Att bara ändra på ena sidan av ekvationen, eller bara på några av termerna.
- Att glömma andragradsekvationens andra lösning, särskilt x = 0.
- Att hoppa över kontrollen. Att sätta in svaret i den ursprungliga ekvationen tar bara några sekunder.
Sammanfattning
- Läs ekvationen som ett recept och kör det baklänges.
- Samla x-termerna på sidan med flest x så att talen förblir positiva.
- Ta bort bråk genom att multiplicera allt med den gemensamma nämnaren.
- En produkt är noll bara när någon av faktorerna är noll.
In i dojon
Läsning ger förståelse, träning ger snabbhet. Träna detta i Kung Fu Math – inget konto behövs.